Hallo Ute,
das Updaten auf ne neue Typo3-Version bei Best-Webhoster ist vom Aufwand her gar nicht so groß wie Du vielleicht denkst.
Jochen Weiland beschreibt hier das Ganze sehr übersichtlich:
http://jweiland.net/typo3cms/typo3-update/
(allerdings auch mit ssh-zugang, hilft aber trotzdem, schau auf jeden Fall mal rein)
Probleme gibts halt mit manchen Extensions, vergiss nicht die, die Du selber in typo/ext installiert hast.
Pinzipiell ist es aber so machbar (per FTP):
1. Backups machen :-)
2. Es exstiert ja schon ein Ordner "typo3_src-3.6.2" in Account, erstelle einen neuen Ordner "typo3_src-3.x.0" (x = Deine neue Version)
3. Dort rein lädst Du die Ordner typo3, t3lib und tslib Deiner neuen Version per FTP (das einzige was lang dauert -> FTP eben)
4. Jetzt musst Du nur den Symlink "typo3_src" im Webroot auf den Ordner "typo3_src-3.x.0" neue Version ändern. (die anderen symlinks gehen alle auf "typo3_src", daher korrigiert sich das automatisch

)
5. Install-Tool aufrufen und beim Database Analyzer bei "Update required tables" auf den Link "COMPARE" klicken (siehe jweiland).
In der Regel wars das.
Also ohne den etwas länger dauernden FTP-Upload bekommt man es in 15min hin.
-> Lies vorher noch mal bei jweiland rein wo es Problemchen geben könnte.
-> Gelegentlich musst mit chmod noch mal irgendwo nen Zugriff oder Schreibrechte erlauben.
-> wenn Du bei einem leeren Account anfängst und gleich ne neue Typo3-Version daufmachen willst isses schnell gemacht. Hier musst Du in der Accountverwaltung eben zuerst noch eine DB anlegen.
-> Denk dran im Install-Tool von Typo3 noch die "die(...)"-Funktion auszukommentieren
-> Die Symlinks könntest Du z.B. mit einem kleinen 1-zeiligen php-skript ändern, so habs ich gemacht.